Re: [3o] Μαθηματικά ΙΙΙ (2014-15)

21
Συμπλήρωση, δεν προφταίνω με τίποτα LaTaX οπότε μερικά tips
Spoiler: show
7:
λύστε την ομογενή, \( ty''-(1+t)y'+y=0 \Longrightarrow t(y'-y)'-(y'-y)=0\Longrightarrow \dfrac{y'-y}{t}=constant \)
συνεχίζουμε λύνοντας γραμμική 1ης τάξης και καταλήγουμε στην \( y=c_1(t+1)+c_2e^{-t} \Longrightarrow y_1=t+1 \) και \( y_2=e^{-t} \) η συνέχεια σελ.30, ποντάρω βεβαίως πως \( \excists \) καλύτερος τρόπος που να χρησημοποιεί το ότι δίνει την λύση της μη ομογενούς που δίνει...
Spoiler: show
8:(λοίπει ένα y στο τέλος σύμφωνα με email που έστειλε η Κυριάκη)έχουμε \( x^3y'''-3x^2y''+6xy'-6y=g(x) \)
θέτουμε \( x=e^t \) και έχουμε:

\( \frac{dy}{dx}=\frac{dt}{dx}\frac{dy}{dt}=\frac{d(lnx)}{dx}\frac{dy}{dt}=\frac{1}{x}\frac{dy}{dt} \)

\( \frac{d^{2} y}{\text{d}x^2}=\frac{\text{dt}}{\text{d}x}\frac{\frac{\text{dy}}{\text{d}x}}{\text{d}t}=\frac{\text{d(lnx)}}{\text{d}x}\frac{\text{d}(\frac{\text{1}}{x}\frac{\text{dy}}{\text{d}t})}{\text{d}t}=\frac{\text{1}}{x}(\frac{\text{-1}}{x}\frac{\text{dy}}{\text{d}t}+\frac{\text{1}}{x}(\frac{1}{x}\frac{d^2y}{dt^2}))=\frac{\text{-1}}{x^2}\frac{\text{dy}}{\text{d}t}+\frac{1}{x^2}\frac{d^2y}{dt^2} \)

\( \frac{d^{3} y}{\text{d}x^3}=\frac{1}{x^3}(2\frac{\text{d}y}{\text{d}t}-3\frac{\text{d}^2y}{\text{d}t^2}+\frac{\text{d}^3y}{\text{d}t^3}) \)
η συνέχεια είναι να λύσεις την αντίστοιχη ομογενή και να πάρεις μέθοδο Lagrandge (σελ.19)
Spoiler: show
9:η πρώτη μέθοδος Lagrandge
2η, 5η μέθοδος προσδιορισμού συντελεστών
3η μέθοδος προσδιορισμού συντελεστών 'ομως δες την άσκηση(σελ.24)
στη 4η είναι ομογενής σταθερών συντελεστών(χαρακτηριστικό πολυώνυμο κτλ)(συγκριτικά με τα άλλα απλό)
το post θα γίνει τεράστιο αν συνεχίσω οπότε συγκεκριμενοποίησε λίγο τις ερωτήσεις σου εδώ
Spoiler: show
10: 1ο βήμα ίδιο με την 8 & φτάνεις στην \( y''+(a-1)y+by=0 \)
η συνθήκη που δίνει γίνεται το y να μηδενίζεται καθώς t τείνει στο μειον άπειρο(t = ln x , x τείνει στο 0)
απορίπτεται η περίπτωση διακρίνωσα <0 καθώς βγαίνουν τριγωνομετρικές (δεν τείνουν στο μηδέν) για τις άλλες πρέπει ο εκθέτης να του e να είναι αρνητικός για να πληρείται η προυπόθεση ή να είναι παντού μηδέν η συνάρτηση
Spoiler: show
11: αντικατάσταση \( x=e^t \), σελ.24 & μέθοδος προσδιορισμού συντελεστών! Τρεία σε ένα :tomato: ! Κάνε τις προηγούμενες και αυτή απλά τα έχει όλα!
επείδει είναι τρελά συμπτιγμένα αυτά που γράφω & δεν προφταίνω να γίνω αναλυτικός για όλα γίνε & λίγο πιο συγκεκριμένος στο που κολάς.

Re: [3o] Μαθηματικά ΙΙΙ (2014-15)

24
tsel έγραψε:μου εξηγεις λιγο τι κανεις μετα το (y' - y)/t =c ? αναφερομαι στην άσκηση 7
\( \Rightarrow y'-y=ct\Rightarrow^{x e^{-t}} \\ (ye^{-t})'=cte^{-t} \)
Βεβαίως όπως υποπτευόμουν υπάρχει όντως καλύτερος τρόπος: Μέθοδος D'Alambert σελ.17

Επίσης μετά από συνάντηση με την καθηγήτρια όντως υπήρχαν σφάλματα & μάλιστα αυτά που φοβόμουν & δεν ήμουνα σίγουρος για το πως τα ήθελε η καθηγήτρια(π.χ. διαιρέσεις, απόλυτα(Ναί είχες δίκιο TheodoreC), και επίσης κάτι άλλο που δεν το θυμάμαι τώρα), όπως είπα δεν παρακολουθώ το μάθημα πολύ...(όχι στο ξύπνο μου τουλάχιστον :razz: ...), οπότε σε σωστή μορφή θα τα ανεβάσει η καθηγήτρια αργά ή γρήγορα.

Re: [3o] Μαθηματικά ΙΙΙ (2014-15)

25
στην 11 δε μπορω να βρω τους συντελεστες...engegen μπορεις να γινεις λιγο πιο συγκεκριμενος , ή οποιος αλλος την εχει λυσει μηπως μπορει να βοηθησει ?

Re: [3o] Μαθηματικά ΙΙΙ (2014-15)

26
Spoiler: show
Κρίκη έγραψε:στην 11 δε μπορω να βρω τους συντελεστες...engegen μπορεις να γινεις λιγο πιο συγκεκριμενος , ή οποιος αλλος την εχει λυσει μηπως μπορει να βοηθησει ?
Για πιο λές, το ένα έβγαινε \( y_{EMO1}=t^se^{2t}A_0 \), με s=1 & το δεύτερο \( y_{EMO2}=t^s(A_1t+A_0) \) με s=0
μετά αντικαθιστάς στην εξίσωση στην πρώτη \( A_0=3 \) και στην δεύτερη \( A_0=\frac{3}{2}\quad A_1=1 \) (αφήνω ενδεχόμενο σφάλματος στις πράξεις όμως αν το ομογενή κομμάτι βγαίνει \( y"(t)-3y'(t)+2y(t) \) τότε τόσο πρέπει να βγαίνει)
ποιό κομμάτι δεν σου βγαίνει;
ΥΓ.ξαναέλενξα τις πράξεις μου & τόσο μου βγαίνουν.

Re: [3o] Μαθηματικά ΙΙΙ (2014-15)

28
Όταν αναζητάς ειδική λύση της μορφής \( y_{EMO}=t^{s}e^{at}[cos{bt}(A_{k}t^{k}+...A_{o})+sin{bt}(B_{k}t^{k}+...B_{o})] \) συγκρίνεις την ειδική αυτή μορφή με αυτή που έχεις στο δεύτερο μέλος της εξίσωσης που πρέπει να λύσεις. Έτσι προκύπτουν τιμές για τους συντελεστές α και b. Αν το α+bi δεν είναι λύση της χαρακτηριστικής εξίσωσης (αυτής που προκύπτει απ' το πρώτο μέλος της εξίσωσης) τότε s=0. Αν είναι, όπου s βάζεις την πολλαπλότητα αυτής της ρίζας.

Ελπίζω να βοήθησα...
Spoiler: show
Επίσης, δεν ξέρω αν αυτό ρωτάς: μια ρίζα r1 της χαρακτηριστικής εξίσωσης με πολλαπλότητα p, μηδενίζει τη διαφορική εξίσωση (αποτελεί δηλ. λύση) έως και με την p-1 παράγωγό της \( x^{p-1}e^{r1x} \)
Διορθώστε με όπου κάνω λάθος
Τελευταία επεξεργασία από το μέλος i griega την Τετ 19 Νοέμ 2014, 9:01 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
Λόγος: Επεξεργασία εξίσωσης TEX ώστε να φαίνεται καλύτερα
cron