ChemEng NTUA - forum Χημικών Μηχανικών ΕΜΠ

Παιδιά να ρωτήσω.. Είναι απλό νομίζω αλλά έχω κολλήσει. Το μερικό διαφορικό θ(x/y) είναι ίσο με [y*θx-x*θy]/θ^2y;;; Αυτό τον κανόνα τον είχαμε πει στην παραγώγιση.. Ισχύει κ στα διαφορικά;
Pleaseee help

Αν εννοείς αυτό: \( \partial \left( \frac{x}{y} \right)=\frac{y \partial x -x\partial y}{ y^2} \) κατά αντιστοιχία με το διαφορικό της συνάρτησης μίας μεταβλητής, πιστεύω ότι δεν ισχύει. Το σύμβολο \( \partial \) θεωρητικά δείχνει την απειροστή μεταβολή της τιμής της συνάρτησης (στην περίπτωσή μας \( \frac{x}{y} \)), όταν μεταβάλλεται κατά απειροελάχιστα η τιμή μίας εκ των ανεξάρτητων μεταβλητών, κρατώντας τις υπόλοιπες σταθερές. Επομένως απευθείας μπαίνει μέσα η ερώτηση: "Ποια μεταβλητή αλλάζεις και ποια έχεις σταθερή??". Επομένως θα έπρεπε στο μερικό διαφορικό να διευκρινίζεται κάτι τέτοιο, το οποίο όμως πρακτικά δε γίνεται. Θα έλεγα επομένως ότι το "μερικό διαφορικό" σαν έννοια αντίστοιχη με το διαφορικό της συνάρτησης δεν έχει μαθηματική ορθότητα και για αυτό δεν το έχω δει και πουθενά γραμμένο. Για συναρτήσεις πολλών μεταβλητών βλέπεις κάτι τέτοιο: http://en.wikipedia.org/wiki/Differenti ... _variables

Παιδιά μπερδεύτηκα. Στην εξέταση του Μασαβέτα είδα πολλά τέτοιου είδους διαφορικά θ(x/y) ενώ εγώ είχα συνηθίσει να βλέπω θx/θy. Π.χ. είχε μια άσκηση που έλεγε να δείξουμε ότι θ(Α/Τ)/θ(1/Τ) με σταθερό το V ισούται με U. Αν το πάρω το κάθε θ όπως έγραψα στο πρώτο ποστ βγαίνει αμέσως αλλιώς έχω πρόβλημα. Επίσης στο βιβλίο των μαθηματικών λυκείου γράφει σε ένα ιστορικό σημείωμα ότι d(xy)=xdy+ydx άρα σκέφτηκα μήπως ισχύει το αντίστοιχο και εδώ για τη διαίρεση. Α!! Πώς γράφεις τις εξισώσεις έτσι;

LateX

Είδες τέτοια περίεργα διαφορικά αλλά δεν τα είδες μόνα τους. Τα είδες πάντα υπό τη μορφή μερικών παραγώγων. Τώρα για το θέμα του μασαβέτα έχουμε:

\( \frac{\partial \left( \frac{A}{T} \right)}{\partial \left( \frac{1}{T} \right)}=A+\frac{1}{T} \frac{\partial A}{\partial \left( \frac{1}{T} \right)}=A-\frac{1}{T} \frac{\partial A}{\frac{1}{T^2} \partial T }=A-T\frac{\partial A}{\partial T} \hspace{0.5cm} (1) \)

Όμως ισχύει από τα διαφορικά κλπ ότι \( \frac{\partial A}{\partial T}=-S \), οπότε αντικαθιστώντας στην (1) έχεις:

\( A-T\frac{\partial A}{\partial T}=A-T(-S)=A+TS \equiv U \) από μετασχηματισμούς Legendre.

Εγώ τουλάχιστον έτσι θα το γραφα..

Αρχικά ευχαριστώ για τη βοήθεια. Δεύτερον, αυτή τη σχέση πώς την έβγαλες; Την αρχική ισότητα λέω.Χρησιμοποίησες αυτόν τον τύπο; \( \frac{df}{dx}= \frac{\partial f}{\partial x}+ \frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dx} \) Και κάτι ακόμα. Αν δεν είναι υπό τη μορφή μερικών παραγώγων αλλά είναι μόνο του μερικό διαφορικό πώς το υπολογίζω; Δε θυμάμαι ακριβώς τα θέματα αλλά νομίζω ότι σε κάποια σημεία είχε μόνο \( \partial{\frac{x}{y}} \), χωρίς άλλο διαφορικό από κάτω. Ευχαριστώ πάρα πολύ!!

Αυτό σου λέω, ότι μόνο του το μερικό διαφορικό μου φαίνεται ανυπόστατο σαν έννοια και δε θα πρεπε να υπάρχει. Την ισότητα την έβγαλα με παραγώγιση γινομένου αρχικά (θεωρώ γινόμενο \( \frac{A}{T}=A\cdot \frac{1}{T} \) )και μετά με αλλαγή μεταβλητής παραγώγισης ( \( d\frac{1}{T}=-\frac{1}{T^2}dT \)).

Κάτσε για να είμαι σίγουρη ότι κατάλαβα. Σόρι για το πρήξιμο.. Αν πούμε ότι το Α=χ και 1/T=y τότε θέλω να βρω το θ(xy)/θy = [χ*θy + y*θx]/θy = x+ y*θx/θy. Σωστά έτσι;

Yep. Ακριβώς αυτό!